多面体版Stokesの定理

3週間くらい全然記事を書けていませんでした。というかアクセス解析をしてもアクセス0のこのブログを書き続ける理由などあるのでしょうか。だからこそ自由に書けるというメリットがあるのだみたいな論理で納得させています。長いものを紹介するのはハードルが高いので、shortな話になります。というか、この記事は特に質が低いので、削除するかもしれません。

最近ふと見つけた公開講座の語り口が敬体でとてもフィット感があったので、今日はそのようにいきたいと思います。

定理

凸多面体を考えます。の各ファセット毎に、次のようにベクトルを定めます。

• はに垂直で外向きである。
• の長さは各面の[d-1]次元体積に等しい。

このとき，となる。

余談

3次元版の問題をPeter Winklerの本で高校生の時に見て、一応解答を見たものの納得できなかった覚えがあります。

www.nippyo.co.jp

今となってはStokesの定理だねという主張です。が、正直積分とか忘れてしまって、どうやってStokesの定理を証明するんだったか思い出せません。恥ずかしい話ですが。

最近Lovaszの本を読んでる時に遭遇したので、懐かしくなりました。

bookstore.ams.org

証明

まず凸多面体は単体に分割できます（例えば、内部に点を取って、この点を頂点とし各ファセットを底面とする錐に分割すると、次元に関する帰納法から示せます）。よって、特殊ケースである単体について示せば良いです。

残された単体のケースですが、ちょうどいい線形代数の問題くらいなので、よかったら考えてみてください。